2. Écriture d'un nombre entier naturel.¶
a. Le système décimal (base 10).¶
Pour compter dans le système décimal (celui qu'on utilise tous les jours, aussi appelé base 10), on utilise 10 symboles (d'où le nom de système décimal) appelés chiffres et notés : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Avec ces 10 chiffres, on peut donc compter jusqu'à 9 et si on veut dépasser 9, il faut alors changer de rang : des unités on passe alors au dizaines, puis aux centaines, etc.
Un nombre entier est composé de rangs et chaque rang est égal au rang précédent multiplié par 10 (dans le système décimal), c'est à dire 1 dizaine = 10 unités, 1 centaine = 10 dizaines, etc.
Par exemple, le nombre 567, en base décimale est formé de : 5 centaines, 6 dizaines et 7 unités.
Au lieu d'utiliser ce vocabulaire, on peut aussi utiliser des puissances de 10 (car on travaille en base 10). En base 10, chaque rang représente une puissance de 10. Par exemple, en reprenant le nombre 567 : 567 = $5 \times 10^2 + 6\times 10^1 + 7 \times 10^0$.
b. Le système binaire (base 2).¶
Pour compter dans le système binaire (ou base 2), on utilise (seulement) 2 symboles : 0 et 1.
Dans la base 10, chaque rang représente une puissance de 10 et de la même façon, dans la base 2 (binaire), chaque rang représente une puissance de 2.
On constate qu'on a besoin de 4 bits pour écrire le nombre 9 ou le nombre 10 en binaire.
Pour qu'il n'y ait pas de doute sur la base utilisée, on notera par exemple $1010_2$ pour indiquer qu'on parle d'un nombre noté en base 2 (binaire) ou $101_{10}$ pour indiquer qu'on parle d'un nombre en base décimale (base 10).
Remarque : Il ne faut pas confondre les mots bit et Byte. Un Byte est un mot anglais qui désigne 8 bits. En fançais, un paquet de 8 bits est appelé 1 octet, on peut donc noté qu'un octet = un Byte. Cet octet (ou Byte) est la plus petite unité de stockage adressable.
c. Conversions.¶
De décimal à binaire :
On a vu comment compter jusqu'à 10 en binaire, mais on ne peut pas utiliser cette méthode pour obtenir, par exemple $1040_{10}$ en binaire, ce serait bien trop long. On va utiliser une méthode (un algorithme) qui permet de faire assez facilement cette opération :
On effectue des divisions euclidiennes successives par 2 jusqu’à obtenir un quotient nul puis on lit les restes "à l’envers".
Exemple : On veut convertir le nombre 42 en binaire :
On obtient donc : $42_{10} = 101010_2$
Remarques :
Un bit permet de coder 2 valeurs (0 ou 1) donc $n$ bits codent $2^n$ valeurs et le plus grand entier qu'on peut coder sur $n$ bits est donc $2^{n-1}$.
Un processeur dit « 32 bits » permet de coder un entier sur 32 bits donc le plus grand entier codé sur un tel processeur sera $2^{32}-1= 4 294 967 296$.
En python, il existe une fonction déjà définie qui permet de convertir en binaire, la fonction bin() :
bin(33) renvoie 0b100001.
De binaire à décimal :
On a vu qu'en binaire, chaque rang représente une puissance de 2 donc il suffit d'utiliser cela pour passer du binaire au décimal.
Par exemple : $1101001_2 = 1\times 2^6+1\times2^5+0\times2^4+1\times2^3+0\times2^2+0\times2^2+1\times2^0=107_{10}$
d. L'hexadécimal (complément).¶
Le système hexadécimal est un système de numération en base 16. Il utilise ainsi 16 symboles, les 10 chiffres puis les lettres de A à F : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ce format est très utilisé en informatique car il offre une conversion facile avec le système binaire tout en simplifiant l'écriture et la lecture des nombres binaires.
Il est possible de traduire du binaire vers de l'hexadécimal et réciproquement, groupe de 4 chiffres par groupe de 4 chiffres. Le plus grand "chiffre" en hexadécimal est F et il correspond à 15 en décimal et 1111 en binaire. F est donc encodé sur 4 bits en binaire.
On a donc :
Conversions :
Pour convertir un nombre binaire à un nombre héxadécimal (base 16), on regroupe les bits 4 à 4, chaque groupe donnant un chiffre hexadécimal.
Pour passer d'un nombre hexadécimal à sa représentation binaire se fait en remplaçant chaque chiffre pour son équivalent sur 4 bits. Si le nombre binaire de départ n'a pas un nombre de bits multiple de 4, il faut ajouter des zéros en tête (ce qui ne change pas sa valeur) afin de pouvoir les regrouper 4 par 4.
Exemples :
- Convertir $11010011101_2$ en héxadécimal : $11010011101_2 = 0110.1001.1101_2$
et $0110_2 = 6_h$ ; $1001_2 = 9_h$ et $1101_2 = D_h$
donc $11010011101_2 = 69D_h$
- Convertir $A5F_h$ en binaire : $A_h = 1010_2$ ; $5_h = 101_2$ et $F_h = 1111_2$ donc $A5F_h = 10101011111_2$
